Multatuli.online

Rekenen!

Ik nam op blz. 172 als zeker aan, dat 2 097 152 coups, in 1 048 576 rode en even zoveel zwarte zouden verdeeld zyn. Er bestaat namelyk geen reden voor het tegendeel. Dit immers zou stryden tegen de eisen der simple chance, waarby rood en zwart volkomen gelyke aanspraak hebben. Al zy het nu, dat telkens een der beide kleuren voorheerst, toch komt er eindelyk steeds een ogenblik van gelykheid. Om dit te ontkennen, zou men moeten aannemen, óf dat de kleur die vooruit is, steeds zal blyven voorheersen, 't geen strydt tegen de gelyke aanspraak der andere kleur, óf dat de kleuren, nadat een daarvan eenmaal is vooruitgeraakt, overigens altyd aan elkander zouden gelyk blyven, waardoor het eenmaal bestaand verschil zou worden geconsolideerd. Dit is hierom ondenkbaar, wyl dan de voortdurende afwykingen - écarts - vermeden werden, die in den aard der zaak liggen, 't geen ook reeds uit het aanvankelyk vooruitgaan van die ene kleur bleek.

Zeer wel weet ik, dat het aannemen der gelykheid van de kleuren, op 2 097 152 zetten, willekeurig is. Doch de aanmerking hierop vervalt, zodra ik in stede van een benoemd getal te gebruiken, het aantal der te behandelen zetten op n stel. Ieder toch zal inzien, dat daarin n/2 keren rood, en n/2 keren zwart moet voorkomen, of althans dat men op geen andere verhouding een berekening gronden mag, en hierom is 't ons in dit geval te doen. Ten overvloede de opmerking, dat ik by de behandeling der simple chance gemakshalve slechts van rood en zwart sprak. Al wat daarover viel op te merken, is evenzeer van toepassing op alle andere kansen, die by elken zet de waarde hebben van ½, en welker soort men naar willekeur kan uitbreiden. Er zyn byv. evenveel kleurvolgende coups, als niet-kleurvolgende. Evenveel die gelyk zyn aan den voorlaatsten, als die daaraan niet ge-lyk zyn. Evenveel die een beginnende serie afbreken tot intermittence, als die haar maken tot 'n tweeslag, enz.

By al deze verhoudingen zyn ook te voegen die welke op de relatieve frequentie van even en oneven seriën gegrond zyn. Het getal even seriën bedraagt de helft van dat der onevene, doch de op deze verhouding gebaseerde coups zyn, evenals de kans op rouge of noir, onderworpen aan de wet der door schynbaar wisselvallige afwykingen telkens verbroken - doch juist dáárdoor eindelyk teweeggebrachte - gelykheid.

Dezelfde opmerking past op het aantal zetten dat de speler wint of verliest, onverschillig of hy doorgaande dezelfde kleur kiest, of hy geregeld dan wel nu en dan en al ware het naar luim alleen afwisselt, of hy voor of tegen de gagnante speelt, of hy z'n heul zoekt in intermittences of seriën, of hy speculeert op de verhouding der evene en onevene seriën... altyd blyft de waarde van elke neergelegde mise: . Niet meer, niet minder.

 

Deze nogal eenvoudige waarheid...

't Is waarlyk zo overbodig niet, haar den speler voor te houden! Door 't neerleggen immers van een geldstuk, dat in zyn beurs de waarde had van een eenheid, schynt hy de mening te openbaren dat meer bedraagt dan één? Met andere woorden, er blykt óf: dat de gelyke kans, z'n eenheid tot 2 verhoogd dan wel tot 0 verminderd te zien, hem verkieslyk voorkomt boven de zekerheid dat hy 'n eenheid bezit; óf: dat hy die kans voor niet gelyk houdt.

 

Deze eenvoudige opmerking, zou in zekeren zin kunnen volstaan, om alle spelers van hun systemen te genezen.

In de speelwereld echter is een adagio in omloop, dat die genezing onmogelyk is. Daar - gelyk elders! - vond men deunen en zegswyzen uit, om de moeite van 't zelf denken te besparen. De Stuart Mill's der groene tafel zeggen: qui a joué, jouera!

Ik beweer dat er wél een middel bestaat om iemand van 't spel te genezen. Men moet den patiënt leren rekenen. Rekenen, redeneren met cyfers, behoort tot de Natuurkunde die ik in de Verhandeling over Vrye Studie [*] In den derden bundel der Ideeën. (Zie Deel IV, blz. 313-343). aanbeveel als probaat middel te-gen allerlei soort van bygeloof. De aanbidding van 't rouge et noir is, evenmin als andere theologieën, bestand tegen den invloed van den Logos, van de Rede. Wie krankzinnig genoeg is een god te bidden om regen, om droogte, om herstel van een zieke, zal baat vinden by dezelfde artseny die den speler geneest van z'n vrees om de gagnante te beledigen, of van z'n vast vertrouwen op een ‘figuur’.

't Is waar dat ik van ‘figuren’ nog niet gesproken heb, en de lezer heeft recht op uitlegging van dit woord. Niet zonder jacht op zeker soort van finesse, zoeken sommigen op de groene tafel hun heil in een, meer of min willekeurig vastgestelde, combinatie van zetten. De zodanigen spelen noch op intermittences noch op seriën, maar op een vooruitbepaalde byzondere volgorde der kleuren. Men stelt, hoopt of meent, byv. dat er zal uitkomen: drie keren rood, eens zwart, twee keren rood, vyf keren zwart, eens rood, eens zwart, en daarna nog een keer rood. Op de door de Bank verstrekte speelkaartjes, waarin de zetten met een speld worden geprikt, zou die figuur er aldus uitzien:

	•
	•
	•
•
	•
	•
•
•
•
•
•
	•
•
	•

Het spreekt vanzelf, dat de meesten hun verbeeldingskracht niet wagen aan 't vooruitbepalen van een zéér groot aantal zetten. Wat hun aanleiding geeft om de gekozen figuur voor waarschynlyker te houden dan 'n andere, is my onbekend. Misschien zouden wy, by nasporing van de redenen, weer aanlanden in de buurt van de bekende kruisspin. Misschien ook berekende men dat die figuur kon verwacht worden, omdat ze zich in lang niet had voorgedaan. Dit lang uitblyven is zo vreemd niet, als men nagaat dat de volgorde van veertien coups zich op 16 384 verschillende wyzen kan voordoen. Wie dus z'n geluk laat afhangen van de éne manier die inderdaad komen zál, neemt 'n lot in een lotery van 16 384 nummers, waarin slechts één prys is. Ik behoef bovendien niet te zeggen, dat er niet de minste reden bestaat om aan een grillig bepaalde afwisseling de voorkeur te geven, boven een regelmatige serie die uit een gelyk aantal zetten zou samengesteld zyn. Veertien zwarten, of veertien roden, hebben evenveel recht op bestaan, als de veertien zetten die ik zoeven geheel willekeurig tot 'n zogenaamde figuur byeenvoegde. Ik deed dit dan ook geenszins om my verder te verdiepen in de verwachtingen van winst, die op zulke spelery gegrond worden. Myn bedoeling is, naar aanleiding van die figuren, later over te stappen op een geheel ander terrein, op de regelmaat van al wat is. Ieder speler weet dat elke zet onzeker is. Toch geeft hy telkens aan deze of gene kleur de voorkeur. Wat beweegt hem hiertoe? Het moet de intuïtieve mening zyn, dat er door de Natuur zekere orde wordt in acht genomen. Tegelykertyd echter schynt hy 't vreemd te vinden, als die orde zich duidelyk openbaart. Hierin ligt een zonderlinge tegenstrydigheid.

Stellen wy, dat het speelkaartje waarop een gehele taille geprikt was, een der figuren aanbood, die op de volgende bladzyde worden voorgesteld, met welk recht vinden wy de schynbaar onregelmatige afwisseling in model 1 minder vreemd, dan de regelmaat in de andere modellen? Sommigen zouden 't zelfs onmogelyk achten, dat een ganse taille uit intermittences bestond, als in model 2. Uit coups de quatre, als in 3. Dat ze in twee helften was gedeeld, als in 4. En vooral - doch zonder meer grond - dat ze geheel en al was samengesteld uit zwarte coups, als in model 5.

By enig nadenken toch moet men toestemmen, dat al die tailles niet alleen mogelyk zyn, maar dat ieder daarvan evenveel recht op bestaan heeft, als elke andere groep van zevenentwintig zetten. Toch blyven velen die regelmaat beschouwen als... onna-

1		2		3		4		5
	•		•		•	•		•
	•	•		•	•		•
•		•		•	•		•
	•	•		•	•		•
•		•	•		•		•
	•	•		•		•		•
	•		•	•		•		•
	•	•		•		•		•
	•		•		•	•		•
	•	•		•	•		•
•		•		•	•		•
•		•		•	•		•
•		•	•		•		•
	•	•		•		•	•
•		•	•		•	•
•		•		•		•	•
	•		•		•		•	•
	•	•		•		•	•
•		•		•		•	•
•		•		•		•	•
•		•	•		•	•
•		•		•		•	•
•		•	•		•	•
	•	•		•		•	•
•		•		•		•	•
	•	•		•		•	•
•		•		•		•	•

tuurlyk, en zoeken daarachter iets anders dan den loop van 't zogenaamde ‘lot’. Het ‘toeval’ - met of zonder indiscrete bemoeienis van een god - kan wel tailles leveren volgens model 1, maar die andere modellen gaan boven z'n kracht! Dat ‘lot’ is hier dus zwakker dan de mens zelf, dan een kind, ja dan 't hondje Munito op de kermis. Het zou immers wel in ónze macht staan om uit 'n Quinetse vaas, willekeurig en met opzet, zoveel keren zwarte balletjes te doen verschynen als ons lustte?

Om deze tegenstrydigheid van opvatting te doen in 't oog vallen, kies ik als voorbeeld een speler die kreupel, lam of ziek is. Hy zit gevangen, en kan zich niet naar de speelzaal begeven. Doch zie, hy heeft - door bemiddeling van de H. Morfondaria zeker - van rood gedroomd. Het treft gelukkig dat-i in 't romantisch bezit is van een ‘ouden, getrouwen’ bediende, dien hy naar 't Kurhaus zendt, met den last een geldstuk op de gedroomde kleur te zetten.

De oude-getrouwe komt terug met de boodschap dat de mise verloren is, omdat zwart uitkwam.

Indien nu onze gevangene beweerde dat dit onmogelyk was, en z'n knecht wegens oneerlykheid wegjoeg, zou hy handelen als een dwaas. De kans - we zyn hier en pleine probabiliteitsleer - dat z'n ouwe-getrouwe op eenmaal een dief was geworden, komt hem kleiner voor, dan dat er ditmaal tegen z'n verwachting een zwarte coup zou uitgekomen zyn.

Hy gelooft dus den man, en geeft hem nu twee stukken, weder om die te plaatsen op de rode kleur.

De knecht komt terug met de boodschap dat de slag zwart was. Heeft hy nu die twee stukken gestolen? Of misschien wel vier? Twee, als hy zich de mise toeëigende zonder te zetten, vier indien hy ze gezet heeft, en twee daarby won?

Onze gevangene is niet kleingeestig. Hy twyfelt alweer niet aan de rechtschapenheid van z'n bediende, en zendt hem nogmaals uit, om een mise op rood te plaatsen, ditmaal van vier stukken.

De slag was zwart.

De knecht wordt daarop uitgezonden met acht stukken...

De slag was zwart.

...met zestien stukken...

De slag was zwart.

...met twee-en-dertig stukken...

De slag was zwart.

...met vier-en-zestig stukken...

Ik kan hier afbreken. De lezer denke zich nu eens het maximum der mise weg, en wordt verzocht dit heen en weer lopen in gedachte voort te zetten, tot de heer z'n knecht wegjaagt als een dief. Vrage: by den hoeveelsten zet men den heer hierin gelyk durft geven? By den hoeveelsten zoudt gyzelf, lezer, uw ouwengetrouwen hebben onthaald op 'n onvrindschappelyk consilium abeundi?

Er kan toch niet altyd zwart uitkomen, nietwaar?

Altyd? Neen. Maar ikzelf heb twee-en-twintig zetten van dezelfde kleur achter elkander gezien, zonder nog te weten of de serie daarmee sloot. De taille was geëindigd, en ik bleef niet wachten op de volgende die de serie kan hebben voortgezet. Waarom niet? Oude habitué's spreken van hoger seriën, en de kansrekening brengt mee, dat ik, die zeer zelden de speelzaal bezoek, niet juist een der zeldzame állerhoogsten heb bygewoond. Er zouden er geweest zyn van vierendertig. Wie zich hierover verwondert, verliest alweder uit het oog, dat elke andere vooruit bepaalde groep van vierendertig zetten zich even zelden voordoet. [*] De noemer der breuk waardoor de kans op zulk 'n serie wordt uitgedrukt, is 17.179.869.184. Het is namelijk de 34ste term der geometrische reeks waarvan de eerste term, en tevens de rede, twee is.

Elke eerste zet is onmisbaar een afwyking van de gelykheid. De uitgekomen kleur staat tot de niet-uitgekomene, als 1: 0. Na den tweeden zet is de kans op verhoging van den écart, even groot als op 't gelyk worden. De kleuren staan dan als 2: 0 of als 1:1. Op vier mogelykheden

 

is de som der afwykingen 4, d.i. gemiddeld op elke mogelykheid, één. Dit, gedeeld door het aantal zetten - in dit geval: twee - zou de gemiddelde afwyking over twee coups kunnen doen vaststellen op een half per zet. Drie zetten kunnen zich voordoen op acht manieren:

Z	Z	Z	Z	R	R	R	R
Z	Z	R	R	Z	Z	R	R
Z	R	Z	R	Z	R	Z	R

De som der afwykingen is 12, of, gedeeld door 't getal mogelykheden, 1½, dat almede tot het getal zetten staat als 1:2.

Vier zetten vertonen zich als:

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

R

R

R

R

R

R

R

R

Z

Z

Z

Z

R

R

R

R

Z

Z

Z

Z

R

R

R

R

Z

Z

R

R

Z

Z

R

R

Z

Z

R

R

Z

Z

R

R

Z

R

Z

R

Z

R

Z

R

Z

R

Z

R

Z

R

Z

R

De som der afwykingen is 24. Dit bedraagt op 16 mogelykheden 1½, waaruit zou voortvloeien dat de vermoedelyke afwyking op vier zetten ⅜ per zet bedraagt.

Deze berekening heeft niet de minste waarde, wanneer men haar toepast op kleine groepen. En zelfs komt ze ongerymd voor, daar alle écarts uit gehele zetten bestaan, en alzo elke breuk ondenkbaar is. Dit is echter de gewone fout van 't gemiddelde. Ik geloof niet, dat men op andere wyze tot een oordeel over de vermoedelyke afwykingen op een groter aantal coups geraken kan. Als handleiding voor wien dit wenst te beproeven, de volgende opgave:

1	2	2	1	1
2	4	4	1	½
3	8	12	1½	½
4	16	24	1½	⅜
5	32	60	1⅞	⅜
6	64	120	1⅞	5/16
7	128	280	2 3/16	5/16
8	256	560	2 3/16	35/128
9	512	1260	2 59/128	35/128
10	1024	2520	2 59/128	63/256

Enz. Enz. Het is my niet duidelyk in hoeverre deze berekening kan worden overeengebracht met de wortelverhouding die ik aanvoerde op blz. 180. Ook zie ik niet in, hoe ze den speler baten kan. Ten eerste weet hy niet aan welke zyde de afwyking plaats hebben zal, en daar elk der beide kleuren gelyke aanspraak heeft op vóór zyn, volgt hieruit ten tweede: dat by elken overgang het punt van volkomen gelykheid moet bereikt en gepasseerd worden. De loop der zetten is een voortdurende stryd tussen afwyken en gelyk worden, en kan vergeleken worden met het op- en nedergaan der armen van een balans.

Dat dit oscilleren ons minder regelmatig toeschynt, ligt hierin dat we gewoonlyk geen acht slaan op de oneindig vele soorten van evenwicht, die door de natuur der dingen moeten bereikt worden. Oppervlakkig byv. zou de symmetrie vorderen dat er na:

•
•
•
•
•
•
•
•
•
	•
•
	•
	•
	•

een rode zet volgde, omdat de zwarten zes coups vóór zyn. Doch tevens zien we in dit schetsje tien zetten die ‘kleur volgen’ en slecht drie die niet overeenkomen met den vorigen. Om den wille der gelykheid in dat opzicht alzo, zou de vyftiende zet, ná rood, een zwarte moeten zyn. Doch in dat geval werd de coup de trois van rood met 'n oneven zet gesloten, hetgeen dan reeds de vierde keer wezen zou, zonder 'n enkele even serie. Hieruit zou te besluiten vallen, dat de vyftiende zet rood zal we-zen, en wel om dien drieslag tot een coup de quatre te maken. Maar in dat geval stuiten wy weer op de aanspraak der kleine seriën en intermittences, die in ons schetsje niet genoeg vertegenwoordigd zyn. Ook zy moeten hun achterstand inhalen, en er is dus als vyftiende zet een zwarte te verwachten... of een rode! Zó is het! Want wy verliezen ons in onzekerheid.

En nu sprak ik nog niet eens van het oscilleren der afwykingen, van het afwyken der écarts, die op zichzelf, evenzeer als elke zet, dan eens intermitteren, dan weder gedurende enigen tyd hoofdig denzelfden kant kiezen. Ook hierin komt eindelyk gelykheid, maar niet dan ten koste van aanhoudende schynbare onregelmatigheden, waarop de speler geen systeem gronden kan. Helaas, ik begin te vrezen dat myn studiën onbruikbaar zyn ‘pour gagner à la banque’. Gelukkig, dat er in die behoefte door andere professeurs de jeu wordt voorzien. Men beweert zelfs dat Schlungelhans z'n vryen tyd in het tuchthuis, aan een système infaillible besteedt...

In de veronderstelling dat-i niet rekenen kan, ken ik hem meer kans op welslagen toe, dan aan myzelf, en ik geef den lezer verlof, de vruchten van zyn loisir met verlangen tegemoet te zien. Myn onderzoekingen leiden vooralsnog niet verder dan tot de zekerheid, dat de uitslag van elken coup even onzeker is als van alle andere, en dat men dus alleen in een zeer byzonder geval reden hebben zou te verkiezen boven m.

 

Dit geval zou aldus kunnen worden gedacht. Iemand bezit m, en moet een reis doen, waartoe meer dan m, doch niet meer dan 2 m (stel r) nodig is. Om het ontbrekende te verkrygen, zou hy daarom moeten schryven, doch het wachten op antwoord veroorzaakt hem o onkosten. Indien hy nu z'n m neerlegt op de simple chance, heeft dit geld, als mise, voor hem meer waarde dan toen hy 't in z'n beurs had.

By verlies namelyk, heeft hy een negatieve bezitting van o + r. M.a.w. hy heeft niets in kas, en moet onkosten en reis betalen. In geval van winst, bezit hy 2 m - r. Hy vermydt de uitgaven voor 't wachten, en kan de reis bekostigen.

Wanneer hy niet speelt, houdt hy m in kas, doch is onkosten en reis schuldig. Zyn bezitting is dan: m - r - o.

Daar nu evenwel de gemiddelde waarde der beide mogelykheden, als hy wél speelt, neerkomt op:

 

blykt er, dat m, als mise op de simple chance, ½ o (d.i. de helft der te maken onkosten) meer waard is dan in z'n beurs.

Het spreekt vanzelf, dat deze conclusie onjuist wezen zou, indien men o/2 kleiner stelde dan m/74 of m/79, dewyl in dat geval de kans op 't uitwinnen der onkosten niet zou opwegen tegen de zéro of refait.

Men wordt voorts uitgenodigd, het door my gekozen voorbeeld van urgentie uit te breiden tot voorvallen van groter belang. Ik sprak slechts van reiskosten, en van één zet op de simple chance. Het ligt voor de hand, dat 'n koopman er groot belang by hebben kan, op een bepaald ogenblik over zekere som te kunnen beschikken, welker verlies minder schade toebrengt, dan er voordeel kan worden verwacht van mogelyke winst. Er wordt beweerd dat dit aan de Frankforter beurs redelyk wel bekend is, en dat het speculeren in staatspapieren vry geregeld wordt afgewisseld met het beoefenen der theorie van de simple chance. Waarom dit steeds ‘onder de roos’ geschiedt, begryp ik niet. De effectenlui zullen zich toch niet in 't hoofd halen, dat zy derogeren door 't verplaatsen van hun kantoor naar de groene tafel?

Ja, dat menen zy!

Het is koddig, pretentieus, onoprecht, huichelachtig, of misschien in plaats van dit alles: dom, maar 't is zo!

En niet effectenlui alleen. Ook andere speculanten...

Daarvan iets in een volgend hoofdstuk.